Kromme

0
443

KnipselMet kromme of curve, een begrip uit de wiskunde, onder andere de meetkunde, wordt een in het algemeen niet-rechte “lijn” aangeduid, maar met een rechte als bijzonder geval. Een kromme in twee dimensies wordt ook vlakke kromme genoemd, een kromme in drie dimensies is een ruimtekromme.

Een voorbeeld van een kromme is de grafiek van een continue functie.

Afhankelijk van de context wordt een kromme meestal gedefinieerd als een continue afbeelding op een reëel interval (in de ruime zin van het woord, eventueel de hele \mathbb{R}), of het beeld onder zo’n afbeelding. Een kromme kan dan ook gegeven worden door een parametervergelijking met één reële parameter. Om de afbeelding te onderscheiden van het beeld wordt de afbeelding aangeduid als geparametriseerde kromme. Een tussenvorm tussen een kromme als verzameling punten en een kromme als afbeelding is een georiënteerde kromme. Twee parametriseringen bepalen dezelfde georiënteerde kromme als de ene parameter een strikt stijgende functie van de andere is. Het gaat dan dus wel om de volgorde waarin de punten van het beeld doorlopen worden, maar niet om hoe “snel” dat gebeurt.

Bij een ruimtevullende kromme gaat het niet om het beeld op zich (dat is niet eens herkenbaar als kromme), maar juist om de parametrisering (althans de volgorde waarin de punten van het beeld doorlopen worden).

Als een kromme een begin- en/of eindpunt heeft, kan dat wel of niet tot de kromme behoren. Bij een kromme als verzameling komt dit neer op een ophopingspunt aan het ene en/of het andere uiteinde. Toevoeging van deze eventuele punten (en eventuele andere ophopingspunten) komt neer op het nemen van de afsluiting van de verzameling. Bij een geparametriseerde kromme komen het begin- en/of eindpunt neer op de eventuele limieten naar onder en boven. Bij toevoeging van zo’n limiet bij een begrensd open uiteinde van het domein komt dit neer op het gesloten maken van dit uiteinde. Een onbegrensd einde van het domein kan door een andere parametrisatie, met behoud van de oriëntatie, begrensd gemaakt worden. Zo kan bijvoorbeeld bij een logaritmische spiraal de oorsprong wel of niet tot de kromme gerekend worden.

Een kromme kan aan een zijde waar het domein open is (begrensd of onbegrensd), begrensd of onbegrensd zijn.

Een pad is een continue afbeelding met als domein het eenheidsinterval [0,1]. Het beeld is dan compact; in de Euclidische ruimte Rn wil dit zeggen gesloten en begrensd. Een lus is een pad waarvan het begin- en eindpunt samenvallen. Het beeld heet een gesloten kromme, overeenkomend met het topologische begrip vrije lus. Bij een kringintegraal zijn weliswaar de parametrisatie en het begin-/eindpunt niet van belang voor de definitie, maar wel de richting waarin de kromme wordt doorlopen.

Een vlakke kromme kan gedefiniëerd worden door continue coördinaatfuncties x(t) en y(t), waarbij de parameter t een interval doorloopt. Bij een ruimtekromme komt er nog een functie z(t) bij, enz. Als t de tijd voorstelt, definiëren deze functies samen een plaatstijdfunctie van een beweging langs de kromme.

SHARE
Previous articleLijnen
Next articleCinema 4D